Séance 4 Modèles dynamiques

Un modèle dynamique fait intervenir des retards sur une ou plusieurs variables (analyse du temps présent en fonction du temps présent ET du temps passé):

• si ces variables sont uniquement exogènes, on parlera de modèles à retard échelonnés comme dans la formule simple

\[y_t = c + \sum_{i=0}^r a_i x_{t-i} + \epsilon_t\]

• \(y_t\) valeur à la date \(t\)
• \(c\) point à l’origine (équivalent de \(\beta_0\))
• \(a_i\) (équivalent de \(\beta_i\)): une unité de plus de \(x_{t}\) sur \(y_t\), en gardant \(x_{t-1}\) constant.

Dans ce cas là, seule la valeur \(x_{t-i}\) de la période passée impacte la valeur \(y_t\) de la période présente. Cependant, ce modèle estimé par les MCO rencontre des problèmes de multicollinéarité (la variable \(x_{t-1}\) est un multiple de la variable \(x_{t-2}\), etc.), de degrée de liberté, et une tendance non-continuelle des coefficients estimés dans le temps (pas dans le même sens, pas la même ampleur).

• si les variables retardées correspondent à l’endogène (effet de.s variable.s explicatives s’étend sur plusieurs périodes \(t\) d’une manière géométrique), on appellera ces modèles des modèles autorégressifs

\[y_t = c + \sum_{i=1}^r a_i x_{t-i} + \epsilon_t \\ou\\ y_t = c+\sum_{i=1}^r a_i y_{t-i}+bx_t + cz_t + \epsilon_t \\ (y_t = \alpha_0 + \beta_O x_t + \lambda y_{t-1} + u_t)\] Ici, le présent ainsi que le passé impactent la période présente (par exemple, en EQ, notre avancement passé \(y_{t-1}\), nos efforts présents \(x_t\) ainsi que l’humeur du prof \(z_t\) à la date \(t\) impactent notre avancement présent \(y_t\)).

Si la période d’examen s’étend, on s’attend à ce que les coefficients \(a_i\) diminuent, car la force du passé lointain sur le présent doit normalement moins se ressentir.

Dans le cas général, on parlera de modèles autorégressifs et à retards échelonnés (ou modèle dynamique): \[y_t = c + \sum_{i=1}^r a_iy_{t-i} + \sum_{j=0}^l b_jx_{t-j} + \epsilon_t\] à gauche : variables retardées endogènes. à droite : retards échelonnés exogènes.

Nombreuses applications, en particulier lorsque l’on suppose l’existence d’une dépendance du phénomène observé par rapport à ses états antérieurs :

• étude du revenu disponible des ménages (dépend des dépenses passées et des revenus restants),
• étude des phénomènes de transmission de capitaux.

4.1 Les modèles dynamiques autorégressifs

Exemple simple: \[y_t = a + bx_t + cy_{t-1} + \epsilon_t\]

Question : les erreurs \(\epsilon_t\) sont-elles corrélées ? \(Cov(\epsilon_t,\epsilon_{t-1} \neq 0)\) ?

• si oui (i.e différent de 0)², problème car alors \(y_t\) dépend non seulement de \(\epsilon_t\) mais aussi de \(\epsilon_{t-1},\epsilon_{t-2},\epsilon_{t-3}\), etc (corrélation des variables indépendantes avec perturbation + corrélation en série des perturbations => clashent avec MCO assumptions).
• si non (\(Cov(\epsilon_t,\epsilon_{t-1}= 0)\)), alors les MCO sont utilisables.
  • mais suppose de très gros échantillons pour suffisamment de convergence des estimateurs.

Plusieurs tests possibles pour vérifier l’autocorrélation des résidus :

• Test de Durbin-Watson \(\epsilon_t = \rho \epsilon_{t-1} + u_t\)
  • \(H_0\) : il y a non autocorrélation \(\Leftrightarrow \rho=0\),
  • \(H_1\) : il y a autocorrélation \(\Leftrightarrow \rho \neq 0\) avec toujours \(|\rho| < 1\).

Statistique de Durbin-Watson: \[H=\frac{\rho}{\sqrt{\frac{1}{n}-Var(a_1)}}\]

• \(\rho\) est l’estimateur de \(\rho\),
• n la taille de l’échantillon et,
• \(Var(a_1)\) la variance estimée du premier retard sur l’endogène.

(problème avec les ^, vérifier les slides pour pas faire de bêtise)

4.2 Méthode des moments généralisés (GMM)

Complément sur les variables instrumentales.

Dans toutes les stratégies d’estimation des modèles précédents, une hypothèse:

• les variables explicatives \(x_{it}\) sont exogènes, i.e

\[E[\epsilon_{it}|\alpha_i,x_{i1},...x_{it}] = 0, \quad t=1,...T\]

• Que se passe-t-il si ce n’est pas le cas ? i.e. \(E[\epsilon_{it}|x_{ijt}] \neq 0\) pour au moins un \(j\).

Les MCO ne sont plus utilisables: estimateurs biaisés.

Méthode des momment généralisés (GMM) : méthodo d’estimation des différents modèles dynamiques. Généralise les MCO.

Idées des GMM:

• trouver \(r\) variables (dites “instruments”) \(Z_i = \{z_i^1,...,z_i^r\}\) de moment nul \(E[Z_i'\epsilon_i] = 0\).
• Comment les trouver ?
  • il peut s’agir de certaines variables explicatives \(x_i\) dont on suppose l’exogénéité;
  • d’autres variables, parfois mêmes construites à partir des \(x_i\).
• Avec ces instruments, l’estimateur GMM est calculé en fonction de ces conditions pour minimiser une forme quadratique³

Exogénéité variables explicatives par rapport aux résidus fondamentale pour MCO (utile pour le within aussi?). Arrive souvent que cette hypothèse soit pas respectée. Variables endogènes; causalité inverse variable expliquée sur variables explicatives. MCO ne sont plus utilisables.

Plusieurs cas:

• r=K ou dim(r)=dim(X) : modèle “juste identifié”. Autant d’instruments que de var explicatives, l’estimation se fait “simplement” en une étape.
• r>K ou dim(r)>dim(X) : modèle “sur-déterminé”. Instruments > var explicatives. Il y a “trop” de variables, nécessité de procéder en 2 étapes:
  • Etape 1 : équation d’instrumentation. Chaque régresseur endogène \(X_j\) est régressé sur tous les instruments \(Z\) et tous les régresseurs exogènes \(X_j\). \(x_j = Z \gamma_j + X_j \delta_j + \mu_j\). Les valeurs prédites \(\hat x_j = Z \hat \gamma_j + X_j \hat \delta_j\) sont des instruments valides pour les \(X_j\) endogènes.
  • Etape 2 : \(Y\) est régressé sur les valeurs prédites.